映射类集增长函数的百态

设 $X$ 与 $Y$ 为有限复形，且 $Y$ 单连通。Gromov 猜想，可由 $L$-Lipschitz 映射实现的 $[X,Y]$ 中映射类的数量渐近增长为 $L^\alpha$，其中 $\alpha$ 是由 $Y$ 的有理同伦型与 $X$ 的有理上同调决定的整数。该猜想在作者与 Weinberger 最近的一篇论文中被证伪；我们给出了一个例子，其中“预测”增长为 $L^8$ 但真实增长为 $L^8\log L$。此处我们通过一种不同机制表明，此类可能增长函数的全体是相当庞大的。特别地，对每个有理数 $r \geq 4$，存在一对 $X,Y$ 使得 $[X,Y]$ 的增长本质上为 $L^r$。