一种具有大上增长率且无增长率的单模随机图

我们构造了一个最大度为 $d\geq 3$ 的单模随机根图，上增长率为 $d-1$，且无增长率。Ab\'ert、Fraczyk 和 Hayes 证明了对于单模随机树，如果上增长率至少为 $\sqrt{d-1}$，则增长率存在，并对此表示一些怀疑。如果这在更一般的图上也hold，他们提出了问题。我们的构造表明答案是否定的。我们还提供了一个非超有限的单模随机图示例，无增长率。这可能与 Ab\'ert 的猜想有趣，因为该猜想认为单模黎曼曲面在受限负曲率下总是具有增长的。