具有有界随机权重的加权递归图中高 degree 顶点的位置

我们研究了当权重为独立同分布且几乎必然有界的随机变量时，加权递归图（WRG）中高 degree 顶点的标号大小的渐近增长率，并由此证实了 Lodewijks 和 Ortgiese 的一个猜想。WRG 是随机递归树（RRT）和有向无环图模型（DAG）的推广，其中顶点被赋予顶点权重，新顶点连接到 $m\in\mathbb N$ 个前驱，每个前驱以与其顶点权重成比例的概率独立地被选中。先前的工作确立了 WRG 模型最大度的渐近增长率，而在此我们证明存在一个临界指数 $\mu_m$，使得当图的大小 $n$ 趋于无穷时，最大度顶点的典型标号大小几乎必然等于 $n^{\mu_m(1+o(1))}$。这些结果将最大度位置先前仅对 RRT 模型已知的渐近行为扩展并改进到 WRG 模型更一般的加权多重图情形。此外，对于加权递归树（WRT）模型，即 $m=1$ 的 WRG 模型，我们在顶点权重分布的附加假设下证明了高 degree 顶点的重标度度与标号的联合收敛，并扩展了 Eslava、Lodewijks 和 Ortgiese 所获得的最大度增长率的结果。