一种用于各向异性表面扩散的统一保结构参数有限元方法

我们提出并分析了一种统一的保结构参数有限元方法 (SP-PFEM)，用于二维 ($d=2$) 曲线和三维 ($d=3$) 曲面的各向异性表面扩散，其中具有任意的各向异性表面能密度 $\gamma(\boldsymbol{n})$，$\boldsymbol{n}\in \mathbb{S}^{d-1}$ 表示外法向单位向量。通过引入一个依赖于 $\gamma(\boldsymbol{n})$ 的新型统一表面能矩阵 $\boldsymbol{G}_k(\boldsymbol{n})$、Cahn--Hoffman $\boldsymbol{\xi}$-向量以及稳定化函数 $k(\boldsymbol{n}):\ \mathbb{S}^{d-1}\to {\mathbb R}$，我们利用包括表面梯度算子、表面散度算子和表面 Laplace--Beltrami 算子在内的不同表面微分算子，获得了各向异性表面扩散的统一且守恒的变分公式。针对该变分问题，提出了 SP-PFEM 离散格式。为了在关于 $\gamma(\boldsymbol{n})$ 非常温和的条件下建立所提 SP-PFEM 的无条件能量稳定性，我们提出了一种新的框架，即通过{\sl 局部能量估计}来证明各向异性表面扩散参数有限元方法的能量稳定性/保结构性质。该框架阐明了如何证明其他几何偏微分方程数值方法的无条件能量稳定性。报告了大量数值结果，以展示所提 SP-PFEM 在处理源于不同应用的任意各向异性表面能密度 $\gamma(\boldsymbol{n})$ 的各向异性表面扩散问题时的效率、准确性以及保结构性质。