一种用于闭曲线各向异性表面扩散的对称化参数有限元方法

我们处理一个长期存在的问题：如何设计一个能量稳定的数值格式，用于求解二维中具一般各向异性表面能量 $\gamma(\boldsymbol{n})$ 的闭曲线在{\sl 各向异性表面扩散}下的运动，其中 $\boldsymbol{n}$ 为外单位法向量。通过引入依赖于 Cahn-Hoffman $\boldsymbol{\xi}$-向量和稳定化函数 $k(\boldsymbol{n})$ 的新颖对称正定表面能量矩阵 $Z_k(\boldsymbol{n})$，我们首先将各向异性表面扩散重新表述为守恒形式，然后推导出弱或强各向异性表面能量下各向异性表面扩散的一种新的对称化变分形式。提出了该对称化变分形式的空间半离散化，并证明了其面积（或质量）守恒与能量耗散。随后采用隐式结构保持格式（SP-PFEM，在离散层面保持面积）或半隐式能量稳定方法（ES-PFEM，每时间步仅需求解一个线性系统）进行时间离散化。在关于 $\gamma(\boldsymbol{n})$ 的相对简单且温和的条件下，我们证明 SP-PFEM 与 ES-PFEM 对实际应用中出现的几乎所有各向异性表面能量 $\gamma(\boldsymbol{n})$ 都是无条件能量稳定的。具体而言，对几种常用各向异性表面能量，我们显式构造了 $Z_k(\boldsymbol{n})$。最后，报告了广泛的数值结果以展示所提数值格式的高性能。