三维 Willmore 流的能量稳定参数有限元方法
数值分析
2025-10-06 v2 数值分析
摘要
本工作发展出新的能量稳定参数有限元方法（ES-PFEM）用于 Willmore 流和曲率相关几何梯度流，这些流在三维中作用于曲面。实现能量稳定性的关键在于使用两种新颖的几何身份：（i）法向速度场的重新表述形式，以及（ii）将平均曲率的时间演化纳入控制方程。这些身份使得能够推导出新的变分公式。通过使用参数有限元方法，随后开发出一个隐式全离散方案，该方案在全离散层面维持能量耗散特性。基于 ES-PFEM，我们为 ES-PFEM 的一般曲率相关几何梯度流的设计提供了全面的见解，并提供了对 PFEM 网格质量改进的新理解。特别地，我们发展了高斯曲率流曲面 PFEM 的第一个实现。此外，应用了切向速度控制方法以改进网格质量并增强所提出数值方法的鲁棒性。大量数值实验确认该方法保持能量耗散特性，并在 Willmore 流下的曲面演化中保持良好的网格质量。
引用
@article{arxiv.2506.21025,
title = {An energy-stable parametric finite element method for the Willmore flow in three dimensions},
author = {Weizhu Bao and Yifei Li and Dongmin Wang},
journal= {arXiv preprint arXiv:2506.21025},
year = {2025}
}