Bianchi背景下Klein-Gordon方程的一种统一处理方法

本文中，我们研究Bianchi背景下Klein-Gordon方程的解。特别地，我们关注解在静默奇点方向上的渐近行为。主要结论是，对于Klein-Gordon方程的给定解$u$，在所考虑的Lie群上存在光滑函数$u_{i}$（$i=0,1$），使得$u_{\sigma}(\cdot,\sigma)-u_{1}$与$u(\cdot,\sigma)-u_{1}\sigma-u_{0}$在奇点方向上渐近收敛于零（其中$\sigma$为几何定义的时间坐标，使得奇点对应于$\sigma\rightarrow-\infty$）。此处$u_{i}$（$i=0,1$）应被视为奇点上的数据。有趣的是，可以证明对于一大类Bianchi时空，渐近行为均具此形式。此外，该结论适用于物质主导的奇点、真空主导的奇点，甚至适用于底层Bianchi时空渐近行为为振荡的情形。总而言之，就静默奇点方向上的渐近行为而言，似乎存在一种普适性。事实上，我们倾向于猜想：只要底层Bianchi时空的奇点是静默的，解就具有如上所述的渐近行为。为了将上述渐近行为与非静默情形对比，我们通过援引已知结果，给出了平坦Kasner背景下Klein-Gordon方程解的完整渐近刻画。在该情形下，$u_{\sigma}$通常并不收敛。