剪切流转换的二维模型

我们探索了一个对剪切流转换进行建模的二维动力系统，以试图理解‘边缘’状态的本质。后者是相空间中的一个不变集，将层流状态的吸引盆 B 分为两部分，这两部分以再层流化轨道的性质相互区分。该模型由参数 R 参数化，R 是雷诺数的替代。原点对于所有 R 值都是一个稳定平衡点，代表层流。该系统具有四个发生定性变化的临界参数值：R_{sn}、R_h、R_{bh} 和 R_\infty。若 R < R_{sn}，原点全局稳定；但对于 R > R_{sn}，系统具有另外两个平衡点 X_{lb} 和 X_{ub}。其中，X_{lb} 对于所有 R > R_{sn} 的值均不稳定，而 X_{ub} 在 R < R_{bh} 时稳定，因此具有其自身的吸引盆 D。在 R = R_h 时发生同宿分岔，同时形成同宿环和边缘状态。对于 R_h < R < R_{bh}，作为 X_{lb} 稳定流形的边缘状态构成了 \partial B（即原点吸引盆的边界）的一部分。\partial B 的另一部分是界定 D 的周期轨道 P。P 和 D 随 R 的增加而缩小。在 R = R_{bh} 时，发生‘反向 Hopf’分岔，X_{ub} 失去稳定性，P 和 D 消失。对于 R_{bh} < R < R_\infty，边缘是‘纯粹的’，意即它是唯一位于原点吸引盆之外的相空间结构。随着 R 增加，点 X_{lb} 退行至越来越远的距离，并在 R = R_\infty 处出现奇点，此时它变为无穷大。对于 R > R_\infty，X_{lb} 重新出现，边缘状态消失，且几何结构有利于从层流状态的永久转换，R 值越大越是如此。