$\mathbb{D}^{1,2}$ 假设下 Breuer–Major 中心极限定理的全变分版本

在本注记中，我们针对形如 $\frac{1}{\sqrt{n}} \sum_{1\leq k \leq n} f(X_k)$ 的序列建立了 Breuer–Major 中心极限定理的定性全变分版本，其中 $(X_k)_{k\ge 1}$ 是零均值平稳高斯过程，假设函数 $f$ 具有 Hermite 秩 $d \geq 1$ 且属于 Malliavin 空间 $\mathbb D^{1,2}$。该结果特别推广了 [NNP21] 的近期工作，其中在函数 $f$ 具有 Hermite 秩 $d=2$ 且属于 Malliavin 空间 $\mathbb D^{1,4}$ 的假设下得到了该结果的定量版本。因此我们弱化了 $\mathbb D^{1,4}$ 可积性假设至 $\mathbb D^{1,2}$，并去除了对基函数 Hermite 秩的限制。尽管我们的方法仍基于 Malliavin 微积分，我们利用称为锐算子（sharp operator）的 Malliavin 梯度特例，将所需的全变分收敛归约为一个二维 Breuer–Major 型序列的分布收敛。