Artin 诱导定理一个版本的拓扑证明

我们为具有有限群 $G$ 在其上胞腔作用有限胞腔复形 $X$ 定义欧拉示性数 $\chi(X,G)$。于是，每个 $K_{i}(X)$（以 $X$ 的 $i$-胞腔为基的复向量空间）是 $G$ 的一个表示，我们定义 $\chi(X,G)$ 为表示 $K_{i}(X)$ 的交错和，作为 $G$ 的表示环 $R(G)$ 中的元素。通过改编通常证明链复形的维数交错和等于同调群的维数交错和，我们证明 $\chi(X,G)$ 有另一定义，即表示 $H_i(X)$ 的交错和，同样作为表示环 $R(G)$ 中的元素。我们还证明，对于给定元素 $g$，该虚表示 $\chi(X,G)$ 的特征标恰为该元素固定点集的通常欧拉示性数。最后，我们给出 Artin 诱导定理一个版本的拓扑证明。更确切地说，我们证明，若 $G$ 是一个具有维数大于 1 的不可约表示的群，则 $G$ 的每个特征标都是 $G$ 的真子群的特征标诱导提升的特征标的有理系数线性组合。