$3$-流形特征簇的维数

设$M$为带边界的紧致$3$-流形，$\Gamma$为其基本群。考虑复约化代数群G。特征簇$X(\Gamma,G)$是态射空间$\Gamma\to G$在G的自然共轭作用下的GIT商$\mathrm{Hom}(\Gamma,G)//G$。在$G=\mathrm{SL}(2,\mathbb C)$情形下该空间已被深入研究。遵循Thurston的工作（由Culler-Shalen表述），我们给出了$X(\Gamma,G)$不可约分支维数关于$M$的欧拉示性数$\chi(M)$、$M$的环面边界分支数$t$、G的维数$d$和秩$r$的下界。事实上，在对不可约分支$X_0$的温和假设下，我们证明不等式$$\mathrm{dim}(X_0)\geq t \cdot r - d\chi(M).$$