平面图 Lovász 仙人掌数的紧极值界

仙人掌图是指任意两个圈均边不交的图。我们给出构造性证明：任意平面图 $G$ 包含一个仙人掌子图 $C$，其中 $C$ 含有 $G$ 的至少 $\frac{1}{6}$ 比例的三角形面。我们还通过给出一个紧下界表明该比例无法改进。结合线性拟阵奇偶性的算法，我们的界蕴含了用于计算任意图内“稠密平面结构”的两个近似算法：(i) 给定任意图 $G$，寻找具有最多三角形面的平面子图的 $\frac{1}{6}$ 近似算法；这改进了先前的 $\frac{1}{11}$ 近似；(ii) 寻找具有最多边的平面子图的 $\frac{4}{9}$ 近似算法的另一种（且可以说更具说明性的）证明。我们的界通过分析一种自然的局部搜索策略并充分利用交换论证得到。因此，这暗示了局部搜索在处理此类问题中的威力。