晶体学球填充的分类

阿波罗尼奥斯圆填充由平面中三个两两相切的圆生成，在过去半个世纪启发了对于其他空间填充填充类的研究，包括二维及更高维。最近，Kontorovich 和 Nakamura 引入了晶体学球填充的概念，即 $n$ 维球填充，其对称群为 $\mathbb{H}^{n+1}$ 的等距变换。至少存在三个产生晶体学填充的来源，即多面体、反射扩张 Bianchi 群以及各种高维二次型。当与 Koebe-Andreev-Thurston 定理结合使用时，Kontorovich 和 Nakamura 的结构定理保证晶体学填充在 $n=2$ 时由多面体生成。该结构定理类似地允许我们通过应用 Vinberg 算法获得适当的 Coxeter 图，从 $n=2$ 的反射扩张 Bianchi 群生成填充。在 $n>2$ 时，结构定理与 Vinberg 算法结合使用，使我们能够探究 $\mathbb{H}^{n+1}$ 中给定二次型的某些 Coxeter 图是否容许填充。Kontorovich 和 Nakamura 的有限性定理表明，仅存在有限多类超积分此类填充，且均存在于 $n\le20$ 维。在这项工作中，我们系统地确定了所有已知的晶体学球填充实例。