交替镜像下降法的辛分析

出于理解双线性零和博弈中交替镜像下降法（Alternating Mirror Descent, AMD）算法行为的动机，我们利用辛 Euler 方法研究了连续时间 Hamilton 流的离散化。我们提供了一个利用 Hamilton 动力学、Lie 代数和辛数值积分器结果的分析框架，重点关注辛 Euler 方法中守恒量即修正 Hamilton 量（Modified Hamiltonian, MH）的存在性及其性质。当原始 Hamilton 量是二次函数时，我们以封闭形式计算了 MH，并表明它通常不同于该情形下先前已知的另一个守恒量。我们推导出了 MH 在按步长阶数截断时的新误差界，该误差界以迭代次数 $K$ 表示，并利用这些界证明了 AMD 具有改进的 $\mathcal{O}(K^{1/5})$ 总遗憾界和平均迭代的 $\mathcal{O}(K^{-4/5})$ 对偶间隙。最后，我们提出了一个猜想：若该猜想成立，则意味着对于任意 $\varepsilon>0$，AMD 的总遗憾量以 $\mathcal{O}\left(K^{\varepsilon}\right)$ 规模增长，平均迭代的对偶间隙以 $\mathcal{O}\left(K^{-1+\varepsilon}\right)$ 规模增长；并且在 MH 满足特定收敛条件时，我们可以取 $\varepsilon=0$。