一个关于 Sobolev 范数的惊人公式

我们建立了 Sobolev 半范数 $\|\nabla u\|_{L^p}$ 与如下量之间的等价性：在 $s = 1$ 处计算的 Gagliardo 半范数 $|u|_{W^{s,p}}$ 中，将强 $L^p$ 替换为弱 $L^p$ 范数所得之量。作为推论，我们在一些例外情形（涉及 $W^{1,1}$）中导出了替代估计，其中“预期的”分数阶 Sobolev 与 Gagliardo-Nirenberg 不等式失效。