关于奇偶符号图的研究：rna数

奇偶符号图的研究由 Acharya 和 Kureethara 最近发起，随后 Zaslavsky 等人跟进。设 $(G,\sigma)$ 为具有 $n$ 个顶点的符号图。若 $(G,\sigma)$ 在 $\lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 个顶点的集合上与 $(G,+)$ 切换等价，则称 $(G,\sigma)$ 为奇偶符号图，且 $\sigma$ 为奇偶签名。$\Sigma^{-}(G)$ 定义为在所有可能的奇偶签名 $\sigma$ 下 $(G,\sigma)$ 的负边数集合。$G$ 的 $rna$ 数 $\sigma^-(G)$ 由 $\sigma^-(G)=\min \Sigma^{-}(G)$ 给出。换言之，$\sigma^-(G)$ 是具有近乎相等两侧的最小割大小。本文考虑的所有图均为有限、简单且连通的。我们应用切换方法刻画奇偶符号图并研究 $rna$ 数。我们证明：对任意图 $G$，$\Sigma^{-}(G)=\left\{\sigma^{-}(G)\right\}$ 当且仅当 $G$ 为 $n$ 为偶数的 $K_{1, n-1}$ 或 $K_{n}$。这证实了 [M. Acharya and J.V. Kureethara. Parity labeling in signed graphs. J. Prime Res. Math., to appear. arXiv:2012.07737] 中提出的一个猜想。此外，我们证明了 $rna$ 数的一个非平凡上界：对具有 $m$ 条边和 $n$（$n\geq 4$）个顶点的任意图 $G$，$\sigma^{-}(G)\leq \lfloor \frac{m}{2}+\frac{n}{4} \rfloor$。我们表明 $K_n$、$K_n-e$ 和 $K_n-\triangle$ 是仅有的达到该界的三个图。这是迄今为止 $rna$ 数的第一个上界。最后，我们证明：对任意图 $G$，$\sigma^-(G)+\sigma^-(\overline{G})\leq \sigma^-(G\cup \overline{G})$，其中 $\overline{G}$ 为 $G$ 的补图。这解决了 [M. Acharya, J.V. Kureethara and T. Zaslavsky. Characterizations of some parity signed graphs. 2020, arXiv:2006.03584v3] 中提出的一个问题。