关于圈幂图的 rna 数

具有 $n$ 个顶点的符号图 $(G,\sigma)$ 称为奇偶符号图，若存在双射 $f \colon V(G) \rightarrow \{1,\ldots,n\}$ 使得对 $G$ 中每条边 $uv$，$f(u)$ 与 $f(v)$ 同奇偶当 $\sigma(uv)=1$，异奇偶当 $\sigma(uv)=-1$。$G$ 的 rna 数 $\sigma^{-}(G)$ 是所有 $G$ 上可能的奇偶符号图中负边的最少数量。换言之，$\sigma^{-}(G)$ 是 $G$ 的边割的最小大小，使得两边大小至多相差一。令 $C_n^{d}$ 为 $n$ 阶圈的 $d\text{th}$ 幂。近来，Acharya、Kureethara 与 Zaslavsky 证明了 $n$ 顶点圈 $C_n$ 的 rna 数为 $2$。本文中，对 $2 \leq d < \lfloor \frac{n}{2} \rfloor$ 我们证明 $2d \leq \sigma^{-}(C_n^{d}) \leq d(d+1)$。此外，我们证明图 $C_n^{2}$ 与 $C_n^{3}$ 达到 $d(d+1)$ 的上界。