动机Steenrod代数中击中像的一个结构刻画

动机击中问题要求找到 $H^{*,*}(BV_n;\mathbb{F}_2)$ 作为动机Steenrod代数模的最小生成元集。对于特殊次数 $d=k+2d_1$，其中 $d_1=(n-1)(2^k-1)$，Kameko构造了一个由单项式 $z_k$ 的单调平移张成的顶层，并证明了那里的Bockstein像包含在这些平移的两两之和的张成空间中。本文研究原始次数为 $d$ 的分量 $N_n^{d,*}$（在商去击中元素之前）。我们构造了一个局部投影 $\vartheta:N_n^{d,*}\to V$ 到Kameko的 $M_1$ 直和项 $V$ 上，以及一个奇偶性泛函 $\varepsilon:V\to\mathbb{F}_2$，并证明了 $$\vartheta\bigl(A_+^\sharp(N_n)\cap N_n^{d,*}\bigr)=\ker(\varepsilon).$$ 因此，奇偶性精确地描述了击中元素的局部顶层像。特别地，任何具有奇数局部奇偶性的元素都是非击中的，因此 $z_k$ 平移的任何奇数奇偶性线性组合都在动机击中商中表示一个非零类。我们还通过直接二进制计算证明，如果 $n=2^r+1$，$k=n-4$，且 $r\ge 5$，那么对于 $d=(n-1)(2^{k+1}-2)+k$，有 $\beta(d)>n$。结合Kameko的非击中定理，这产生了一个新的无穷族反例，反驳了动机Peterson型猜想，该族不同于Kameko的 $k=n-3$ 族；我们的奇偶性判据通过证明在这些次数下每个奇数奇偶性线性组合都是非击中的，加强了这一结论。最后，我们证明了局部奇偶性判据及其推论在特征为 $0$ 的任何代数闭域上仍然成立。