Aubin 不等式的一个旋量类比

设 $(M,g,\si)$ 为维数 $\geq 2$ 的紧黎曼旋量流形。对任意与 $g$ 共形的度量 $\tilde g$，记 $\tilde\lambda$ 为 $(M,\tilde g,\si)$ 上 Dirac 算子的第一个正特征值。我们证明 $$\inf_{\tilde{g} \in [g]} \tilde\lambda \Vol(M,\tilde g)^{1/n} \leq (n/2) \Vol(S^n)^{1/n}.$$ 该不等式是 Aubin 不等式——Yamabe 问题解法中的一个重要不等式——的旋量类比。此不等式在 $n \geq 3$ 的情形以及 $n = 2$、$\ker D=\{0\}$ 的情形下已为人知。我们的证明也适用于剩余的 $n=2$、$\ker D\neq \{0\}$ 情形。用同样的方法我们还证明了黎曼曲面上的任意共形类都包含一个满足 $2\tilde\lambda^2\leq \tilde\mu$ 的度量，其中 $\tilde\mu$ 表示 Laplace 算子的第一个正特征值。