扩散激发颗粒介质线性化 Boltzmann 方程的谱研究

本文关注空间非均匀设定下，围绕均匀平衡态线性化的扩散激发颗粒气体方程的谱。我们进行了一项研究，将 Ellis 和 Pinsky 关于线性化 Boltzmann 算子谱的开创性工作推广至非 Hilbert 空间设定及非弹性情形。我们首先给出了谱的精确定位，其由位于虚轴左侧的本质谱部分组成，以及一个离散谱部分；对于较小的非弹性参数，该离散谱也具有非负实部。随后，我们给出了所谓的非弹性“色散关系”，并针对较小的空间 Fourier 频率和较小的非弹性参数，计算了线性算子特征值分支的展开式。除对非弹性情形的研究外，本文的主要创新点之一在于，我们采用了指数加权的 $L^1(m^{-1})$ Banach 空间设定，而非带有 Gaussian 权重的经典 $L^2(\mathcal M_{1,0,1}^{-1})$ Hilbert 空间情形。我们特别证明了 Ellis 和 Pinsky 的结果在该空间中同样成立。