关于两参数整体函数正规族的鲁贝尔问题的一个解

我们构造了一个整体函数 $F(z,a,b)\in \mathcal{O}(\mathbb{C}^3)$，使得族 $$\{F(\,\cdot\,,a,b):a,b\in\mathbb{C}\}$$ 是 $\mathbb{C}$ 上正规的整体函数族，同时 $F$ 不通过单个整体参数进行因式分解。这解决了 L.~A.~Rubel 关于 Liouville 类型刚性问题的难题。事实上，我们的例子满足更强的条件 $$F_bF_{a,z}-F_aF_{b,z}\neq 0 \qquad\text{on }\mathbb{C}^3.$$ 该构造的几何核心是包含在薄区域 $$\{(u,v)\in\mathbb{C}^2:|u-v^2|<1+|v|\}$$ 内的 Fatou--Bieberbach 域。我们通过构建显式多项式自同构的吸引域，结合 Rosay 与 Rudin 关于吸引域的定理获得该域。