关于箱中球平均最大数目的简短注记

我们分析了将 $r$ 个球无放回地均匀随机投入 $n$ 个箱、重复 $T$ 次所得到的箱中球平均最大数目的渐近行为。将期望最大值写为 $\frac{r}{n}T+ C_{n,r}\sqrt{T} + o(\sqrt{T})$，Behrouzi-Far 与 Zeilberger 近期的一篇预印本要求给出 $C_{n,r}$ 关于 $n,r$ 与 $\pi$ 的显式表达式。在本短注中，我们找到了 $C_{n,r}$ 关于 $n, r$ 与 $n$ 个独立标准高斯变量最大值的期望的表达式。这给出了大 $n$ 时的渐近式以及小 $n$ 时的闭形式——例如 $C_{4,2} = \frac{3}{2 \pi^{3/2}} \arccos(-1/3)$——并表明计算 $C_{n,r}$ 的闭形式恰与求 $n$ 个独立标准高斯变量最大值的期望这一困难问题同样难。