具有动态球与箱集合的负载均衡

在动态负载均衡中，我们希望在球和箱均可被添加与移除的环境中将球分配到箱中。我们希望最小化任意箱的最大负载，同时也希望最小化在添加或移除一个球或箱时受影响的球与箱的数量。我们希望一种哈希风格的方案，使得给定球的 ID 即可高效找到其所在的箱。给定一个平衡参数 $c=1+\epsilon$，其中 $\epsilon\in (0,1)$。设 $n$ 和 $m$ 分别为当前球与箱的数量，我们希望没有箱的负载超过 $C=\lceil c n/m\ceil$，称为箱的 capacity（容量）。我们提出一种方案，其中期望下可通过检查 $1+O(\log 1/\epsilon)$ 个箱来定位一个球。当插入或删除一个球时，期望移动 $O(1/\epsilon)$ 个球；当插入或删除一个箱时，期望移动 $O(C/\epsilon)$ 个球。此前的界相差了 $1/\epsilon$ 的因子。这些界在 $C=O(1)$ 时是最优的，但对于更大的 $C$，我们可以做得更好：令 $f=\epsilon C$（若 $C\leq \log 1/\epsilon$），$f=\epsilon\sqrt{C}\cdot \sqrt{\log(1/(\epsilon\sqrt{C}))}$（若 $\log 1/\epsilon\leq C<\tfrac{1}{2\epsilon^2}$），以及 $C=1$（若 $C\geq \tfrac{1}{2\epsilon^2}$）。我们证明，当插入或删除一个球时期望移动 $O(1/f)$ 个球，当插入或删除一个箱时期望移动 $O(C/f)$ 个球。对于更大 $C$ 的界，我们必须先解决一个简单得多的概率问题。将 $n$ 个球逐个放入 $m$ 个容量为 $C$ 的箱中，每个球均匀随机选取一个未满的箱。我们证明在期望和高概率下，未满箱的比例为 $\Theta(f)$。于是新球为找到未满箱所需访问的箱数的期望为 $\Theta(1/f)$。结果表明，在球与箱均可被添加与移除的更复杂方案中，我们获得了相同的复杂度。