关于 Cayley-Salmon 方程的短注

$\mathbb P^3$ 中光滑三次曲面 $S$ 的 Cayley-Salmon 方程是指形如 $l_1l_2l_3 - m_1m_2m_3 = 0$ 的表达式，使得其零点集为 $S$ 且 $l_i$、$m_j$ 为齐次线性型。该表达式最初由 Cayley 与 Salmon 用于研究 $S$ 上 27 条直线的关联。对于 $S$ 存在 120 个本质不同的 Cayley-Salmon 方程。在本注记中我们阐述这一事实的一个经典证明。我们演示获取这些方程的显式计算，并将其应用于 Clebsch 曲面与八项式模型。最后我们表明，这 120 个 Cayley-Salmon 方程可利用 Cueto 与 Deopurkar 近期的工作直接算出。