Marcinkiewicz 定理在 Lorentz 型 Sobolev 空间乘子中的锐化形式

给定 $\mathbb{R}^n$ 上有界可测函数 $\sigma$，令 $T_\sigma$ 为在傅里叶变换上由 $\sigma$ 作乘法得到的算子。设 $0<s_1\le s_2\le \cdots \le s_n<1$，且 $\psi$ 为实直线上的 Schwartz 函数，其傅里叶变换 $\widehat{\psi}$ 支撑于 $[-2,-1/2]\cup[1/2,2]$ 并满足对所有 $\xi \neq 0$ 有 $\sum_{j \in \mathbb{Z}} \widehat{\psi}\left(2^{-j} \xi\right)=1$。本文通过寻找一个几乎最优的函数空间来锐化已知的 Marcinkiewicz 乘子定理形式，该空间具有如下性质：若函数 \begin{equation*} (\xi_1,\dots, \xi_n)\mapsto \prod_{i=1}^n (I-\partial_i^2)^{\frac {s_i}2} \Big[ \prod_{i=1}^n \widehat{\psi}(\xi_i) \sigma(2^{j_1}\xi_1,\dots , 2^{j_n}\xi_n)\Big] \end{equation*} 对 $j_1,\dots , j_n \in \mathbb Z$ 一致地属于该空间，则当 $|\frac{1}{p}-\frac{1}{2} | < s_1$ 且 $1<p<\infty$ 时 $T_{\sigma}$ 在 ${L}^p(\mathbb R^n)$ 上有界。在对所有 $i$ 有 $s_i\neq s_{i+1}$ 的情形，[Grafakos, Israel J. Math., to appear] 证明了 Lorentz 空间 $L ^{\frac{1}{s_1},1} (\mathbb{R}^n)$ 即为所求函数空间。本文处理显著更困难的普遍情形，即对某些指标 $i$ 可能有 $s_i=s_{i+1}$。我们得到了 Marcinkiewicz 乘子定理的一个版本，其中空间 $L ^{\frac{1}{s_1},1}$ 被替换为与某个凹函数相关联的适当 Lorentz 空间，该凹函数涉及 $s_2,\dots , s_n$ 中等于 $s_1$ 的项数。我们的结果在 Lorentz 空间的定义凹函数对数因子的任意小幂次范围内是最优的。