基于Schur补的半近端ADMM用于凸二次锥规划及其扩展

本文致力于设计一种高效且收敛的{半近端}交替方向乘子法（ADMM），用于求解低到中等精度的凸二次锥规划及相关问题。对于这类问题，收敛的两块半近端ADMM可以直接应用于其原形式。然而，已知将直接扩展的多块半近端ADMM（尽管其收敛性无法保证）应用于这些问题的对偶形式更为高效。自然地，人们可能会问：能否构造一个收敛的多块半近端ADMM，其效率高于直接扩展的半近端ADMM？事实上，对于具有4块约束的线性锥规划，Sun、Toh和Yang在最近的一篇论文[arXiv preprint arXiv:1404.5378, (2014)]中已经证明这是可以实现的。受上述工作启发，并针对凸二次锥规划，我们提出了一种基于Schur补的收敛半近端ADMM，用于求解具有耦合线性等式约束的凸规划问题，其目标函数是两个正常闭凸函数加上任意多个凸二次或线性函数之和。我们的收敛半近端ADMM特别适用于求解具有线性等式、半正定锥和简单凸多面体集约束的凸二次半定规划（QSDP）。通过包括QSDP在内的各种算例的数值实验，证明了我们提出算法的效率。