Caflisch-Luke 悖论的一个标量版本

考虑全空间 $\mathbb R^d$ 中 Stokes 流中沉降的无限硬球云。尽管流体力学与应用数学领域已有诸多贡献，迄今仍无关于相关有效沉降速度的严格定义。Caflisch 和 Luke 在维数 $d=3$ 中的计算表明，对于按弱关联且稀释的点过程分布的硬球，有效速度是良定义的，且沉降速度的方差为无穷。这构成了 Caflisch-Luke 悖论。在本文中，我们考虑该问题的一个标量版本，其在微分算符与随机性相互作用方面呈现相同困难，但在 PDE 分析上更为简单。对于一类硬核点过程，我们严格证明有效速度在维数 $d>2$ 时良定义，且方差在维数 $d>4$ 时有限，证实了 Caflisch 和 Luke 的形式计算，并为这类问题的系统研究开辟了途径。