关于 $\operatorname{GL}_{2,A}$ 上的 comodule 的细化 Weyl 字符公式

设 $A$ 为任意一个共轨环，设 $\operatorname{GL}_{2,A}$ 为 $A$ 上秩为 $2$ 的一般线性群方案。我们研究 $\operatorname{GL}_{2,A}$ 的表示论以及标准右 comodule $(V, \Delta)$ 上的对称幂 $\operatorname{Sym}^d(V)$。我们证明了关于 $\operatorname{Sym}^d(V)$ 的细化 Weyl 字符公式。对于任意整数 $d \geq 1$，存在（规范的）细化权空间分解 $\operatorname{Sym}^d(V) \cong \oplus_i \operatorname{Sym}^d(V)^i$，其中每个直接余部分 $\operatorname{Sym}^d(V)^i$ 是 $N \subseteq \operatorname{GL}_{2,A}$ 上的 comodule。这里的 $N$ 是对角李塔 $T \subseteq \operatorname{GL}_{2,A}$ 的图谱正规化子。我们证明了关于 $\operatorname{Sym}^d(V)$ 各直接余部分的字符公式。这种细化 Weyl 字符公式蕴含了经典的 Weyl 字符公式。作为推论，我们得到关于拉回 $\operatorname{Sym}^d(V \otimes K)$ 的细化 Weyl 字符公式，其中 $K$ 为任意场。我们还计算了涉及对称幂、对称张量及其对偶的显式例子。细化权空间分解可推广至诸如 $\operatorname{GL}_{2,A}$ 和 $\operatorname{SL}_{2,A}$ 的群方案。该研究可能适用于研究诸如 $\operatorname{SL}(n,k)$ 和 $\operatorname{GL}(n,k)$ 以及 $k$ 为任意场（或 Dedekind 域）时 $G/H$ 的情况，其中 $H \subseteq G$ 为闭子群。$S_{\lambda}(V)$ 的细化权空间分解与正特性域上的不可约模有关。在一个例子中，我证明它恢复了不可约模 $V(\lambda) \subsetneq S_{\lambda}(V)$。