一种精细剪刀同余群与 $\textrm{SL}_2$ 的第三同调

在交换环 $A$ 上，$\textrm{SL}_2(A)$ 的第三同调与精细 Bloch 群 $\mathcal{RB}(A)$ 之间存在自然联系。本文研究这一联系，并作为主要结果证明：若 $A$ 是一个满足 $-1 \in A^{\times 2}$ 的泛 $\textrm{GE}_2$-域，则有正合序列 $H_3(\textrm{SM}_2(A),\mathbb{Z}) \to H_3(\textrm{SL}_2(A),\mathbb{Z}) \to \mathcal{RB}(A) \to 0$，其中 $\textrm{SM}_2(A)$ 是 $\textrm{SL}_2(A)$ 中的单项矩阵群。此外我们证明，$A$ 的精细剪刀同余群 $\mathcal{RP}_1(A)$ 自然同构于相对同调群 $H_3(\textrm{SL}_2(A), \textrm{SM}_2(A),\mathbb{Z})$。