可分性问题的一种归约：滤子正规形下的 SPC 态

近来有建议认为，对部分转置后复合重排仍保持正的态（即所谓对称正系数态或简称 SPC 态）的可分性问题的解，或可阐明一般的纠缠问题。此处我们证明，这样的解将完全解决该问题。给定 $\mathcal{M}_k\otimes\mathcal{M}_m$ 中的一个态，我们构造 $\mathcal{M}_{k+m}\otimes\mathcal{M}_{k+m}$ 中具有相同 Schmidt 数的一个 SPC 态。已知此类态可保持类型置于滤子正规形（filter normal form）中。$\mathcal{M}_k\otimes\mathcal{M}_m$ 中可分性问题的解，可通过求解 $\mathcal{M}_{k+m}\otimes\mathcal{M}_{k+m}$ 内滤子正规形下 SPC 态的同一问题而获得。该 SPC 态可构造得任意接近 $\mathbb{C}^{k+m}\otimes\mathbb{C}^{k+m}$ 对称子空间上的投影。理解 $\mathcal{M}_s\otimes\mathcal{M}_t$（$s+t\leq k+m$）中纠缠所需的全部信息，都位于该投影周围任意小的球内。我们还证明，任意与翻转算子对易且位于该投影周围小球内的态 $\gamma\in\mathcal{M}_n\otimes\mathcal{M}_n$ 的 Schmidt 数不能超过 $\lfloor\frac{n}{2}\rfloor$。