二分态 Schmidt 数的不等式

在这篇短文中，我们展示了两种完全相反的构造纠缠态的方法。给定二分态 $\gamma\in M_k\otimes M_k$，定义 $\gamma_S=(Id+F)\gamma (Id+F)$，$\gamma_A=(Id-F)\gamma(Id-F)$，其中 $F\in M_k\otimes M_k$ 为翻转算子。在第一种方法中，纠缠是不等式 $\text{rank}(\gamma_S)<\sqrt{\text{rank}(\gamma_A)}$ 的结果。在第二种方法中，$\gamma_S$ 与 $\gamma_A$ 之间无关联。这两种方法显示了量子纠缠的多样性。我们证明任意二分态 $\gamma\in M_k\otimes M_k$ 满足 $\displaystyle SN(\gamma)\geq\max \left\{ \frac{\text{rank}(\gamma_L)}{\text{rank}(\gamma)}, \frac{\text{rank}(\gamma_R)}{\text{rank}(\gamma)}, \frac{SN(\gamma_S)}{2}, \frac{SN(\gamma_A)}{2} \right\},$ 其中 $SN(\gamma)$ 表示 $\gamma$ 的 Schmidt 数，$\gamma_L,\gamma_R$ 为 $\gamma$ 的边际态。我们还给出 $M_k\otimes M_k$ 中的一族 PPT 态，其成员具有等于 $n$ 的 Schmidt 数，对任意给定的 $1\leq n\leq \left\lceil\frac{k-1}{2}\right\rceil$。这是对寻找 PPT 态最佳可能 Schmidt 数这一开放问题的新贡献。