2 × m × n 系统中的纠缠层级

我们考虑 Hilbert 空间 $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^n$ 中的三方纯态，并研究一个给定态可以以非零概率局域变换为哪些态。当初态和末态属于同一 Hilbert 空间时，该问题可通过刻画由随机操作与经典通信（SLOCC）确定的纠缠类来解决。一般而言，存在无穷多个 SLOCC 类。然而，当考虑从高维到低维 Hilbert 空间的变换时，可以发现各类之间还存在一个额外的层级。这个 SLOCC 类的层级对可以从一个共同的高维资源态达到的 SLOCC 类进行了粗粒化。我们首先证明，对于 $n=m$，$\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^n$ 中的一般态集是无穷多个 SLOCC 类的并集，这些类可由 $m-3$ 个参数参数化。然而，对于 $n \neq m$，存在一个单一的一般 SLOCC 类。利用这一结果，我们进而证明在 $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^n$ 中存在一个满测度态集，使得该集合内的任何态都可以局域变换为任何更低维 Hilbert 空间中的一个满测度态集。我们还研究了资源态，它们可以变换为更小维 Hilbert 空间中的任何态（不排除任何零测集）。我们显式导出了 $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^{2m-2}$ 中的一个态，它是 $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^m$ 中所有态的最优共同资源。我们还证明，对于任何 $n < 2m$，当 $\tilde{n}>m$ 时，不可能达到 $\mathbb{C}^2 \otimes \mathbb{C}^m \otimes \mathbb{C}^{\tilde{n}}$ 中的所有态。