无中立性假设的定量Gibbard-Satterthwaite定理

最近，Friedgut、Kalai、Keller和Nisan证明了 $k=3$ 个备选方案时Gibbard-Satterthwaite定理的定量版本，Isaksson、Kindler和Mossel证明了 $k \geq 4$ 个备选方案时中立函数的相应结果。我们证明了任意 $k \geq 3$ 个备选方案的一般社会选择函数的Gibbard-Satterthwaite定理的定量版本。特别地，我们证明对于 $k \geq 3$ 个备选方案和 $n$ 个选民的社会选择函数 $f$，若其与不可操纵函数族的距离为 $\epsilon$，则均匀随机选取的选民配置可操纵的概率至少为 $n$、$k$ 和 $\epsilon^{-1}$ 的反多项式。去除先前定理的中立性假设有多重重要性。首先，已知匿名性与中立性之间存在冲突，而大多数常见投票规则是匿名的，因此它们不可能总是中立的。其次，虚拟选举在人工智能的许多应用中被使用，其中往往对选举结果有限制，因此中立性在这些情境中并非自然假设。我们的证明是统一的，特别涵盖了之前建立的所有情形。证明关键性地使用了反向超收缩性，以及来自先前两个证明的若干思想。大量工作致力于理解单个选民函数，特别地，我们还证明了单个选民情形的定量Gibbard-Satterthwaite定理。