双周期 Fibonacci 序列的 $q$-类比

Fibonacci 序列已通过多种方式被推广。其中一种由关系式定义：当 $n$ 为偶数时 $t_n=at_{n-1}+t_{n-2}$，当 $n$ 为奇数时 $t_n=bt_{n-1}+t_{n-2}$，初始值为 $t_0=0$ 和 $t_1=1$，其中 $a$ 和 $b$ 为正整数。该序列被称为双周期 Fibonacci 序列。在本文中，我们引入了该序列的 $q$-类比。我们证明了 Fibonacci 序列 $q$-类比的若干恒等式，并给出了代数证明和组合证明。