Kontsevich-Soibelman猜想的证明

众所周知，“Fukaya范畴”实际上是Kontsevich和Soibelman意义下的一个$A_{\infty}$-预范畴\cite{KS}。原因在于，一般情况下，态射空间仅对横截的拉格朗日子流形对定义，而高阶乘积仅对横截的拉格朗日子流形序列定义。在\cite{KS}中猜想，对于任何分次交换环$k$，$k$上$A_{\infty}$-预范畴的拟等价类与$k$上具有严格（或弱）单位态射的$A_{\infty}$-范畴的拟等价类之间存在双射。在本文中，我们证明了当$k$是一个域时，对于本质上小的$A_{\infty}$-(预)范畴，该猜想成立。特别地，由此可知我们可以将Fukaya $A_{\infty}$-预范畴替换为一个拟等价的实际$A_{\infty}$-范畴。我们还在$A_{\infty}$-预范畴的框架下给出了预三角包络的自然构造。我们证明了它在拟等价下的不变性。