关于靠近 commuting 元素的 von Neumann 代数元素的投影特征描述与对称性引导

我们定义 von Neumann 代数上的对称映射 $\varphi$ 为其上的 $\mathbb{R}$-线性映射，这是对矩阵诸如转置、伴随、复共轭、单诺瓦矩阵上的共轭以及它们的组合等变换的推广。我们概述了单一 $C^\ast$-代数上此类对称映射。若 $\varphi(A)=A$，则称 $A$ 为 $\varphi$-对称；若 $\varphi(A)=-A$，则称 $A$ 为 $\varphi$-反对称；若 $\varphi(A)=\zeta A$（其中 $\zeta=e^{i\theta}$），则称 $A$ 具有 $\zeta=e^{i\theta}$ $\varphi$-相位对称性。我们的主要结果是对两个算子 $U$（酉算子）、$B$ 具有靠近的 commuting 算子 $U'$（酉算子）、$B'$ 的新投影特征描述。这可用于从靠近一些 commuting 算子 $U', B'$ 的算子 $U, B$ 中“引导”对称性，以证明存在靠近的 commuting 算子 $U'', B''$ 同时满足 $U, B$ 相同的对称性/反对称性/相位对称性，前提是对称映射和对称性/反对称性/相位对称性满足某些温和条件。我们也证明了类似结果适用于 $X=U$ 为自伴算子的情况。作为先前文献和本文结果的 consequence，我们以对称性形式证明了 Lin 定理：若 $\varphi$-对称矩阵 $A$ 近似正规（$\|[A^\ast, A]\|$ 较小），则其靠近一个 $\varphi$-对称正规矩阵 $A'$。我们进一步扩展以包括旋转和二面体对称性。我们也获得两个和三个近似 commuting self-adjoint 算子关于对称性的 bootstrap 结果。作为 consequence，我们解决了 arXiv:1502.03498 的一个猜想，涉及与拓扑绝缘体相关的 Atland-Zirnbauer 对称性类别中两个近似 commuting self-adjoint 矩阵的问题。