乘积中心极限定理及其在随机投影不变原理中的应用

Johnson-Lindenstrauss引理指出随机投影可用作固定向量的拓扑保持嵌入技术。在本文中，我们试图理解随机投影如何影响随机向量的概率性质。特别地，我们证明两个独立随机向量 $X, Z \in {R}^n$ 的内积分布被随机投影 $S:{R}^n \to {R}^m$ 保持。更精确地，$$\sup_t \left| \text{P}(\frac{1}{C_{m,n}} X^TS^TSZ <t) - \text{P}(\frac{1}{\sqrt{n}} X^TZ<t) \right| \le O\left(\frac{1}{\sqrt{n}}+ \frac{1}{\sqrt{m}} \right)$$ 这是通过证明关于 $\sum_{k=1}^{n} X_k Y_k$ 的一般中心极限定理（乘积-CLT）实现的，其中 $\{X_k\}$ 是鞅差序列，而 $\{Y_k\}$ 在序列内部具有依赖性。我们还获得了依Berry-Esseen定理精神的收敛速率。