随机投影对范数的不变性原理

Johnson-Lindenstrauss保证当将高维确定性向量投影到低维向量时，某些拓扑结构在随机投影下得以保持。本文中，我们试图理解随机矩阵如何影响随机向量的范数。特别地，我们证明了随机向量 $X \in \mathbb{R}^n$（其分量为i.i.d.随机变量）的范数分布通过随机投影 $S:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ 得以保持。更精确地，$$\frac{X^TS^TSX - mn}{\sqrt{\sigma^2 m^2n+2mn^2}} \xrightarrow[\quad m/n\to 0 \quad ]{ m,n\to \infty } \mathcal{N}(0,1)$$ 我们还证明了经随机投影或随机嵌入变换的随机范数的集中性。总体而言，我们的结果表明随机矩阵对具有i.i.d.分量的随机向量的范数具有低失真。