群集平衡态导论

我们研究了受外力和成对内力作用的群集生物体的平衡构型。从离散动力学模型出发，我们推导了相应连续种群密度的变分描述。平衡解是能量泛函的极值点，并满足弗雷德霍姆积分方程。我们找到了极值点为局部极小值、全局极小值以及相对于无穷小拉格朗日质量位移的极小值的条件。在一维空间中，针对各种外力、内力和区域构型，我们得到了平衡态的精确解析表达式。这些表达式与底层离散模型的数值模拟结果高度吻合。精确解为我们的一般群集建模框架中可能存在的各种平衡构型提供了样本。这些平衡态通常具有紧支撑，并可能在支撑边界处包含$\delta$浓度或跳跃间断。我们将方法应用于蝗虫群模型，该模型在自然界中表现为地面密集种群与空中群体分离的现象。我们的模型能够再现这种构型；模型的准二维性起到了关键作用。