Bakry-Émery 梯度估计关于 Dyson Brown 运动的相变

本文发现了 Bakry-Émery $N$ 维 Ricci 张量 ${\rm Ric}_N$ 与 Bakry-Émery 梯度估计 ${\sf BE}$ 之间在由有限粒子 Dyson Brown 运动（DBM）构成的空间中存在的间隙，其逆温度为 $0<\beta<1$。具体而言，我们证明了对于加权空间 $(\mathbb R^n, w_\beta)$ 其中 $w_\beta=\prod_{i<j}^n |x_i-x_j|^\beta$ 以及任意 $N\in[n+\frac{\beta}{2}n(n-1),+\infty]$，当 $\beta \ge 1$ 时，${\rm Ric}_N \ge 0$ 与 ${\sf BE}(0,N)$ 同时成立；而当 $0 < \beta < 1$ 时，仅 ${\rm Ric}_N \ge 0$ 成立，而 ${\sf BE}(0,N)$ 不成立，这表明了 Dyson Brown 运动在小逆温度区间内关于 Bakry-Émery 曲率界存在相变。