具有有限自信息的实数完美集

我们研究了 Levin 提出的两个实数互信息的定义。该互信息为 $I(X:Y)=\log(\sum(2^{K(s)-K^X(s)+K(t)-K^Y(t)-K(s,t)})$，其中求和针对有限二进制字符串对 $(s,t)$，$K$ 为前缀自由 Kolmogorov 复杂度。若 $I(X:X)$ 有限，则称实数 $X$ 具有有限自信息。我们构造了一个具有此性质的完美 $\Pi^0_1$ 实数集，解决了 Hirschfeldt 和 Weber 提出的一些开放性问题。该构造产生了一个完美实数集，满足 $K(s)\le K^{A}(s)+f(s)+c$，其中 $c$ 为某常数，适用于任何具有特别良好逼近性质的给定 $\Delta^0_2$ 函数 $f$；对于 $f$ 的特定选择，它还可用于构造一个完美的 $\Pi^0_1$ 实数集，这些实数在有效 Hausdorff 维数和有效 packing 维数上是低的。该构造可进一步调整，以产生单个完美实数集，满足对于“良好”类 $\Delta^0_2$ 函数（包含所有递归序）中的所有 $f$，均有 $K(s) \le K^A(s)+f(s)+c_f$，其中 $c_f$ 是依赖于 $f$ 的常数。