互信息矩阵并不总是半正定的

对于离散随机变量 $X_1, \dots, X_n$，我们构造了一个 $n \times n$ 矩阵。其 $(i,j)$ 元素为 $X_i$ 与 $X_j$ 之间的互信息 $I(X_i;X_j)$。特别地，$(i,i)$ 元素为 $X_i$ 的熵 $H(X_i)=I(X_i;X_i)$。该矩阵被称为 $(X_1, \dots, X_n)$ 的互信息矩阵，此前曾被猜想为半正定矩阵。在本注记中，我们给出了该猜想的反例，并证明了该猜想对于不超过三个随机变量的情形成立。