热对流最优控制的数值方法
最优化与控制
2022-11-29 v1
摘要
热对流的最优控制通常被建模为一个带有Boussinesq方程约束的优化问题，该方程由Navier-Stokes方程和一个对流-扩散方程组成。这个最优控制问题无论从理论分析还是算法设计角度都极具挑战性。例如，流体流动与能量传输的非线性及耦合性阻碍了梯度类算法在实践中的直接应用。本文中，我们基于算子分裂与优化技术，提出一种求解此问题的高效数值方法。特别地，我们采用由投影增强的Marchuk-Yanenko方法对Boussinesq方程进行时间离散，从而将Boussinesq方程分解为一些更简单的线性方程，且在推导相应伴随系统时毫无困难。因此，在每次迭代中，每个时间步需要求解四个简单的线性对流-扩散方程和两个退化Stokes方程来计算梯度。然后，我们应用Bercovier-Pironneau有限元方法进行空间离散，并设计一种BFGS型算法来求解完全离散的最优控制问题。我们深入研究了问题的结构，并设计了一种精细的策略来为BFGS高效地寻找步长。一些初步数值实验的结果令人鼓舞地验证了该数值方法的效率。
引用
@article{arxiv.2211.15302,
title = {A numerical approach to the optimal control of thermally convective flows},
author = {Yongcun Song and Xiaoming Yuan and Hangrui Yue},
journal= {arXiv preprint arXiv:2211.15302},
year = {2022}
}