关于全 omnitonal 图的一个注记

设完全图 $K_n$ 的边染为红色或蓝色，并设 $G$ 为满足 $|V(G)| < n$ 的图。则 ot(n,G) 定义为（若存在）最小整数，使得 $K_n$ 的任一此类染色都对任意满足 $r,b \geq 0$ 且 $r+b= e(G)$ 的 $r,b$ 包含一份具有 $r$ 条红边与 $b$ 条蓝边的 $G$ 的拷贝。若对充分大的所有 $n$ 均存在 ot(n,G)，则称 $G$ 为 \emph{omnitonal} 图。omnitonal 图由 Caro、Hansberg 与 Montejano 引入 [arXiv:1810.12375,2019]。现设 $G_1$、$G_2$ 为 $G$ 的两份拷贝，其边染为红色或蓝色。若存在从 $G_1$ 到 $G_2$ 的保色同构，则称 $G$ 的两种 2-染色等价。现定义 tot(n,G) 为（若存在）最小整数，使得 $K_n$ 的任一此类染色都对任意满足 $r,b \geq 0$ 且 $r+b= e(G)$ 的 $r,b$ 包含 $G$ 的所有不等价染色（具 $r$ 条红边与 $b$ 条蓝边）。若对充分大的所有 $n$ 均存在 tot(n, G)，则称 $G$ 为 \emph{totally-omnitotal}（全 omnitonal）图。本注记中我们证明：仅有的全 omnitonal 图是星图或星森林，即所有连通分支均为星图的森林。