关于欧几里得球内多元正态分布平方分量方差的注记

我们提出了支持不等式$var(X_n^2|X \in B_v(\rho)) \le 2\lambda_n E[X_n^2|X \in B_v(\rho)]$的论据，其中$X \sim N_v(0,\Lambda)$是$v\ge 1$维的零均值正态向量，协方差矩阵$\Lambda = \diag(\lambda)$，$B_v(\rho)$是半径为$\rho$的$v$维中心欧几里得球。这些关系是文献[1]中提出的迭代算法的核心，该算法用于从$X$在$B_v(\rho)$条件下的协方差矩阵重建$\Lambda$。在强截断区域，即$\rho \lesssim \lambda_n$时，上述不等式容易证明，而当$\rho \gg \lambda_n$时则变得困难。这里，我们将两边展开为由$\lambda_n/\rho$的幂控制的函数级数，并证明如果$\rho$足够大，级数的系数函数逐阶满足不等式。中间区域目前仍是一个开放挑战。