一种用于寻找离群相关的更快亚二次算法

我们研究在 $n$ 个变量集合中检测强相关变量的离群对的问题，这些变量除离群对外两两相关性较弱。归一化后，该任务等价于一个几何问题：给定一组具有单位欧几里得范数、维度为 $d$ 的 $n$ 个向量作为输入，对于一些常数 $0<\tau<\rho<1$，要求找出所有内积绝对值至少为 $\rho$ 的离群向量对，前提是除至多 $q$ 对向量外，其余所有向量对的内积绝对值至多为 $\tau$。在 G. Valiant [FOCS 2012; J. ACM 2015] 算法的基础上，我们提出了一种随机算法，对于布尔输入（归一化到单位欧几里得长度的 $\{-1,1\}$ 值数据），其运行时间为 $$\tilde O\bigl(n^{\max\,\{1-\gamma+M(\Delta\gamma,\gamma),\,M(1-\gamma,2\Delta\gamma)\}}+qdn^{2\gamma}\bigr)\,,$$ 其中 $0<\gamma<1$ 为恒定的权衡参数，$M(\mu,\nu)$ 是将一个 $\lfloor n^\mu\rfloor\times\lfloor n^\nu\rfloor$ 矩阵与一个 $\lfloor n^\nu\rfloor\times \lfloor n^\mu\rfloor$ 矩阵相乘的指数，且 $\Delta=1/(1-\log_\tau\rho)$。作为推论，我们得到了运行时间为 $$\tilde O\bigl(n^{\frac{2\omega}{3-\log_\tau\rho}}+qdn^{\frac{2(1-\log_\tau\rho)}{3-\log_\tau\rho}}\bigr)$$ 和 $$\tilde O\bigl(n^{\frac{4}{2+\alpha(1-\log_\tau\rho)}}+qdn^{\frac{2\alpha(1-\log_\tau\rho)}{2+\alpha(1-\log_\tau\rho)}}\bigr)\,,$$ 的随机算法，其中 $2\leq\omega<2.38$ 为方阵乘法的指数，$0.3<\alpha\leq 1$ 为矩形矩阵乘法的指数。符号 $\tilde O(\cdot)$ 隐藏了 $n$ 和 $d$ 中的多对数因子，其阶数可能依赖于 $\rho$ 和 $\tau$。我们还给出了针对灯泡问题以及学习稀疏布尔函数的进一步推论。