关于二次 APN 函数的关联布尔函数性质的注记

设 $F$ 为 $n$ 元二次 APN 函数。其关联布尔函数 $\gamma_F$ 为 $2n$ 元函数（当 $a\neq{\bf 0}$ 且方程 $F(x)+F(x+a)=b$ 有解时 $\gamma_F(a,b)=1$），对于适当的函数 $\Phi_F:\mathbb{F}_2^n\to \mathbb{F}_2^n$ 与 $\varphi_F:\mathbb{F}_2^n\to \mathbb{F}_2$，具有形式 $\gamma_F(a,b) = \Phi_F(a) \cdot b + \varphi_F(a) + 1$。我们总结了已知结果并证明了关于 $\Phi_F$ 与 $\varphi_F$ 性质的新结论。例如，我们证明了 $\Phi_F$ 的次数为 $n$，或不大于 $n-2$。基于计算实验，我们提出一个猜想：$\Phi_F$ 任一分量函数的次数均为 $n-2$。我们表明该猜想基于另外两个具有独立意义的猜想。