布尔函数代数次数的概率估计

代数次数是密码学中布尔函数的一个重要参数。当一个多变量函数未以代数正规式显式给出时，计算其次数可能不可行。此时可尝试用概率测试来估计次数。我们提出一种概率测试，用于判定布尔函数 $f$ 的代数次数是否低于某给定值 $k$。该测试选取一个维数为 $k$ 的仿射空间，并检验 $f$ 在该空间上的取值之和是否为零。若 $deg(f)<k$，则 $f$ 总能通过测试；否则其有时通过有时不通过，取决于所选仿射空间。所提测试的不通过概率与次数为 $k$ 的单项式数目密切相关，该数目在对所有与 $f$ 仿射等价的多项式 $g$ 取平均后得到。我们开启了对所提“$deg(f)<k$”测试不通过概率的研究。我们证明，在 $f$ 的次数恰等于 $k$ 的特殊情形下，该概率落于区间 $(0.288788, 0.5]$ 内，因此少量运行测试即可以极高概率给出正确答案。利用 Hou 以及 Langevin 和 Leander 所列代表元，我们计算了 8 变量所有多项式的该概率精确值。