关于实数上 OR 函数的概率次数

我们研究 $n$ 变量 OR 函数在实数上的概率次数。对于 (0,1/3) 中的误差参数 $\epsilon$，任意布尔函数 $f$ 在实数上的 $\epsilon$-误差概率次数是指满足以下条件的最小非负整数 $d$：存在多项式的分布 $D$，其支撑完全在次数至多为 $d$ 的多项式上，使得对所有 $z \in \{0,1\}^n$，有 $Pr_{P \sim D} [P(z) = f(z) ] \geq 1- \epsilon$。由 Tarui（{Theoret. Comput. Sci.} 1993）与 Beigel、Reingold 和 Spielman（{ Proc. 6th CCC} 1991）的工作可知，OR 函数的 $\epsilon$-误差概率次数至多为 $O(\log n.\log 1/\epsilon)$。我们的第一个观察是这可改进为 $O{\log {{n}\choose{\leq \log 1/\epsilon}}}$，对于小的 $\epsilon$ 值更优。在所有已知的 OR 函数概率多项式构造中（包括上述改进），分布 $D$ 支撑中的多项式 $P$ 具有以下特殊结构：$P = 1 - (1-L_1).(1-L_2)...(1-L_t)$，其中每个 $L_i(x_1,..., x_n)$ 是变量 $x_1,...,x_n$ 的线性型，即多项式 $1-P(x_1,...,x_n)$ 是仿射型的乘积。我们证明，当限制为上述形式的多项式时，OR 的 $\epsilon$-误差概率次数为 $\Omega ( \log a/\log^2 a )$，其中 $a = \log {{n}\choose{\leq \log 1/\epsilon}}$。从而匹配上述上界（相差多对数因子）。