关于借助多项式双齐次势实现例外势可积性的一点注记

本文研究与平面复齐次多项式势相关的二维哈密顿系统的多项式可积性，该势的次数为 $k$，类型为 $V_{k,l}=\alpha (q_2-i q_1)^l (q_2+iq_1)^{k-l}$，其中 $\alpha\in\mathbb{C}$ 且 $l=0,1,\dots, k$，称为例外势。Hietarinta \cite{Hietarinta1983} 证明了当 $l=0,1,k-1,k$ 以及 $k$ 为偶数时 $l=k/2$ 的势是多项式可积的。我们在 Combot 等人 \cite{Combot2020} 引入的多项式双齐次势框架下给出这一事实的初等证明。此外，我们利用可交换指数的事实，为 $V_{7,5}$ 导出了一个此前未知的首积分。本文最后对 $l=k/2$ 作了 Galois 分析。